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mardi 11 août 2015

Équilibre statique

Équilibre statique

Tel que discuté dans l'article Centre de masse et centre de gravité, voici des exemples éloquents d'un système en équilibre statique : le centre de gravité est bien positionné et la somme des forces sur le corps en équilibre est nulle.



http://www.sharegoodstuffs.com/2012/11/35-stunning-example-of-most-extreme.html

http://www.sharegoodstuffs.com/2012/05/10-most-famous-balancing-rocks-around.html

http://www.sharegoodstuffs.com/2011/05/what-balance-can-you-believe-this.html

lundi 30 mars 2015

Grues

Grue avec accélération angulaire
Une force appliquée à une certaine distance d'un point crée un moment de force. Lorsque la somme des moments de force n'est pas nulle, il y a un déséquilibre de rotation, et le corps est accéléré (accélération angulaire).

Voici des exemples de somme des moments qui ne donne pas zéro :
www.youtube.com/watch?v=ek3pRQ7gp5w







Construction d'une grue
Afin de construire de hautes tours (voir article Plus hauts gratte-ciel... gratte étoiles!) il faut des grues tout aussi hautes!

Voici une vidéo qui montre comment se bâti une telle grue.


jeudi 11 septembre 2014

Ponts

Types de ponts

En fonction de la portée (distance horizontale) à traverser, les types de ponts recommandés sont les suivants : 

Pont en poutre : portée de moins de 75 m
Pont à arche : portée de 60 à 250 m
Pont à haubans : portée de 150 à 600 m
Pont suspendu : portée de plus de 600 m
Pont en treillis : ne sont pas compétitifs sur le coût
Pont en treillis en porte-à-faux : la section centrale s'appuie sur les bras en porte-à-faux.

Pont en treillis

Pont en treillis, 105 ap.-J.-C.

Probablement un des premiers ponts en treillis. Structure en arche en treillis faite avec du bois. 

Gravure du pont de Trajan

Vue d'artiste du pont de Trajan

Iron Bridge, Écosse, 1781

Premier pont en arche construit en acier (fonte). Il est toujours existant (pont piéton). Possiblement le 2e pont construit en acier après le pont pour piéton construit à Yorkshire, Écosse en 1769.
Le Iron Bridge, Écosse
Terminé en 1781
Premier pont en arche construit en acier (ici de la fonte)

Méthode de calcul des treillis

Squire Whipple a rédigé ce qui est probablement la première méthode de calcul "scientifique" des efforts dans les structures en treillis : A Work on Bridge Building publié en 1847.

Squire Whipple, 1804-1888

http://books.google.ca/books?id=inwIAAAAMAAJ&pg=PP7#v=onepage&q&f=false


Pont conçu par Whipple, le Squire Whipple Bridge, 1869, NY, USA


Forth Bridge, Écosse

Le Forth Bridge en Écosse fut construit après qu'un autre pont eut été reconstruit suite à son effondrement dans l'estuaire voisin au Forth Bridge. Initialement, l'ingénieur qui a conçu le pont qui s'est écroulé avait commencé à faire la conception du Forth Bridge comme étant un pont suspendu. Étant donné que le public a perdu confiance en cet ingénieur, il n'était pas question que le Forth Bridge soit tel que l'ingénieur discrédité l'avait conçu. Le concept retenu est celui d'un pont en treillis à porte-à-faux. Afin de convaincre le public et de démontrer le principe de la structure, des démonstrations avec des chaises, des contrepoids et 3 personnes furent présentées au public.

Démonstration du concept de pont en treillis en porte-à-faux afin de convaincre le public

Forth Bridge, Écosse
Terminé en 1890
Longueur totale 2529 m
Portée principale : 520 m

Pont de Québec

La construction du pont a débuté en 1903 et s'est terminé en 1919, période durant laquelle il y eut deux effondrements de la structure ce qui a coûté la vie de 88 personnes (75 au premier écroulement, 13 au 2e). La structure est du même type que le Forth Bridge en Écosse : pont en treillis en porte-à-faux.

La construction fut confié à la compagnie Phoenix Bridge Company de Pennsylvanie sous la direction de l'ingénieur Theodore Cooper

Pont de Québec
Terminé en 1919
Longueur 987 m
Portée principale 589 m
1er effondrement, 29 août 1907
Initialement, la portée (distance entre les piliers) devait être d'environ 200 pieds de moins que ce que l'ingénieur Cooper a décidé de construire. Cependant, la compagnie n'a pas refait les calculs du poids mort (poids de la structure) qui serait en porte-à-faux suite à l'augmentation de la portée. Durant l'été 1907, l'ingénieur de chantier Norman McLure a remarqué des distorsions importantes dans les membrures. Il a fait part de ses observations à Cooper qui était à New York, mais ce dernier supposait que les membrures avaient due être tordues avant leur installation. Le 27 août 1907, McLure était convaincu que la torsion n'était pas normale et se rendit à New York pour rencontrer Cooper. Cooper conclut que la situation était grave et avisa la Phoenix Bridge Company de cesser d'ajouter des charges. Cependant, le message ne fut pas transmis à Québec et le même jour, peu avant la fin des travaux de la journée, le pont s’effondra, emportant 75 vies.





2e effondrement, 11 sept 1916
Durant l'ascension de la section centrale, il y a eut un problème avec le système de levage qui a mené à l'effondrement de la section.


Ascension finale, décembre 1917


Pont suspendu

Pont ayant la plus longue portée principale
Pont du détroit d'Akashi, Japon
Terminé en 1998
Portée principale 1991 m

Longueur totale 3911 m
.
Définition :
Ouvrage métallique dont le tablier est attaché par l'intermédiaire de tiges de suspension verticales à un certain nombre de câbles flexibles ou de chaînes dont les extrémités sont reliées aux culées, sur les berges. 

Caractéristique
Contrairement à tous les autres ponts, les ponts suspendus exercent une traction horizontale sur leur point d'appui en raison des câbles (ou châines).



Avantages : 

  • Portée (distance entre deux piliers) importante.


Inconvénients :

  • Nécessite la présence de massifs d'ancrage imposants et lourds sur les berges afin de maintenir les câbles (ou chaînes) qui exercent des forces considérables. La géologie du sol qui va supporter ces forces doit être adéquate.
  • Le remplacement des câbles nécessite la fermeture du pont et est complexe.
  • Les charges dynamiques (vent) peut faire osciller le pont et peuvent entraîner un phénomène de résonance où l'amplitude des oscillaitons se voit amplifiée (voir l'effondrement du pont de Tacoma en 1940)
Principe :
Les câbles qui supportent leur propre poids, le poids des suspentes et du tablier ont une forme entre la parabole et la chaînette. Puisqu'il subissent une grande tension, ils doivent être fixés solidement à des ancrages sur les berges ce qui limite leur utilisation lorsque le sol n'est pas stable.

Comparaison entre la parabole (rouge) et la chaînette (noir pointillé) 
pour une même travée et une même flèche

Attache des suspentes sur le Golden Gate Bridge
Câble principal : diamètre de 36 po
Câble de sustente : diamètre de 3,5 po
Pont Pierre-Laporte, Québec
Longueur : 1041 m
Portée maximale : 667,5 m
Ouverture 1969

Pont de Brooklyn et Pont de Manhattan en arrière plan

Pont de Brooklyn

Golden Gate Bridge

Construction du pont de Manhattan, 1909


Pont à haubans

Plus long pont à haubans : Viaduc de Millau,  France
Terminé en 2004
Portée principale 342 m
Hauteur 343 m
Longueur 2460 m, 7 pylônes
Hauteur libre 270 m
Coût 320 millions d'euros (450 million CAD)


Définition :
Ponts où le tablier est suspendu par des câbles issus de pylônes.

Caractéristique : 
Contrairement au pont suspendu dont les câbles sont fixés aux berges, les câbles du pont à haubans sont reliés aux pylônes, lesquels supportent tout le poids du tablier.

Avantages : 

  • Tout le poids est supporté par les piliers, donc pas de fixation aux berges
  • Structure stable qui peut être érigée sur des sols meubles (mous)
  • Facilité de changer des câbles sans fermeture du pont


Inconvénients :

  • Portée (distance entre deux piliers) plus courte que les ponts suspendus, car pour avoir une grande portée il faut une hauteur de pylône (pilier) très grande ce qui rend les pylônes fragiles et vulnérables aux vents et oscillations. Portée limitée en pratique à 900 m (en théorie 1500 m).
Principe :
Au début, les ponts à haubans n'avaient que très peu de câbles puisqu'il n'y avait pas de technique permettant le calcul d'un système statiquement indéterminé. De nos jours, avec les méthodes informatiques, les ponts à haubans sont composés de nombreux câbles.



Ponts à hauban en éventail

Pont à haubans de type éventail (haut)
Pont à haubans de type harpe (bas)
Plus longue portée : Pont de l'Ïle Rousski, Russie
Portée entre les deux pylônes : 1104 m
Longueur : 1872 m

Rama VIII Bridge, Bangkok, Thaïlande

Leonard P. Zakim Bunker Hill Memorial Bridge, Boston, USA


Pont de la Slovak National Uprising, Slovaquie

Pont Octavio Frias de Oliveira, Sao Paolo, Brésil

Pont Erasmus, Rotterdam, Pays-bas



jeudi 17 avril 2014

Déplacement d'eau et moment de force - Falkirk Wheel

Ce système de levage de bateaux en Écosse est ouvert depuis 2002. Il permet de relier le canal de Forth and Clyde avec le canal Union.



Le système fonctionne sur le principe de déplacement d'eau. Lorsqu'un navire de 5 tonnes entre dans une des deux gondoles, il déplace un volume d'eau de masse 5 tonnes. Ainsi, peu importe la masse du navire, une masse équivalente d'eau est retirée et donc la masse totale (eau + navire) est toujours la même. Cette caractéristique fait en sorte que le moment de force créé par le poids de chaque gondole autour de l'axe de rotation est de même grandeur, mais de sens opposé (le centre de gravité du système est toujours vis-à-vis l'axe de rotation). Ainsi, il ne faudra que peu d'énergie pour faire tourner le système (afin de vaincre le frottement et de créer une accélération angulaire pour mettre le système en mouvement). Un groupe de 10 moteurs hydrauliques situés dans la tour centrale fournit 1,5 kWh d'électricité pour la faire tourner.



Chacune des gondoles est supportée par des petites roues guidée sur des rails fixés à l'intérieur des trous de chaque bras. En théorie, ce mécanisme devrait faire en sorte que le poids de la gondole ramène toujours celle-ci à l'horizontale (principe de stabilité), sans nécessiter de mécanisme extérieur. La gondole peut être imaginée comme "skateboarder" dans un "half-pipe". Si ce dernier se laisse aller, sa planche aura tendance à finir par s'arrêter en plein milieu du "half-pipe" en position horizontale. Cependant, un mouvement soudain ou du frottement pourraient provoquer une inclinaison de la gondole. Pour s'assurer que ceci n'arrive pas et que la gondole reste toujours à l'horizontale, une série d'engrenages font tourner le rail au bon rythme.

Le système de rotation est constitué d'engrenages. Une grande roue dentée (diamètre 8 m) est reliée à la tour principale de façon fixe. Les bras supportant les gondoles sont mise en rotation par des moteurs hydrauliques. Lorsque les bras tournent, les pignon (petites roues dentées) avancent sur la grande roue dentée fixe et donc tournent autour de cette dernière. Les pignons font tourner les grandes roues dentées (de même dimension que la grande roue fixe) sur lesquelles reposent les rails des gondoles.  Ainsi, les roues dentées des gondoles tournent à exactement le même rythme mais de sens opposé.







lundi 14 avril 2014

Moment d'inertie

Moment d'inertie

Le moment d'inertie est la tendance d'un corps à conserver son état de mouvement de rotation. Il joue le même rôle que l'inertie (la masse) en translation.

Plus un corps a un grand moment d'inertie autour d'un axe de rotation, plus il est difficile de changer le mouvement de rotation de ce corps (augmenter ou diminuer sa vitesse angulaire).

Funambule

Le funambule Philippe Petit a marché sur un câble d'acier entre les deux tours du World Trade Center en 1974. Il a réussit cet exploit en utilisant une perche de 8 m de long et de masse 25 kg. Cette longue perche remplie deux rôles importants :

- Augmenter le moment d'inertie (du système funambule-perche)
- Baisser le centre de gravité (du système funambule-perche)



Vidéo du funambule Nik Wallenda qui a traversé le Grand Canyon sur un câble d'acier en juin 2013 (1550 pieds) : https://www.youtube.com/watch?v=MX_jFK9Zf5k

Augmenter le moment d'inertie

Avec une telle longue perche de 8 m et de masse 25 kg, on peut approximer le moment d'inertie autour de son centre de masse avec l'équation d'une tige homogène :



Le moment d'inertie du funambule est plus compliqué à calculer. Néanmoins, on sait maintenant que le moment d'inertie du système funambule-perche sera plus grand que celui du funambule seul puisqu'on ajoute le moment d'inertie de la perche.

Un coup de vent, un débalancement soudain, un pied qui glisse, tous ces événement vont tenter de faire tourner le funambule. En ayant un plus grand moment d'inertie grâce à la perche, ces événement vont moins affecter le mouvement de rotation et donc il sera plus facile au funambule de conserver son équilibre statique.

Baisser le centre de gravité

Le centre de gravité d'une perche droite est au centre géométrique de la perche. Lorsque celle-ci se courbe sous son propre poids, son centre de gravité va se situer un peu plus bas que le milieu de la perche. Puisque la perche est maintenue par le funambule près ou sous son nombril (position du centre de gravité du funambule), en ajoutant la masse de la perche avec un centre de gravité plus bas que celui du funambule, le centre de gravité du système funambule-perche est baissé

INCLURE IMAGE...

Avec un centre de gravité plus bas, le moment de force que le poids du système funambule-perche sera plus petit lorsque le funambule subira une rotation, puisque le bras de levier sera plus petit.

INCLURE IMAGE...

Volant ("Flywheel")

Le volant ou "flyweel" d'un moteur est un grand disque plein qui est relié au vilebrequin ("crankshaft"). Cette composante a un grand moment d'inertie. Le volant permet de fournir de l'énergie en continue alors que la source d'énergie n'est pas continue. En effet, les pistons vont exercer un moment de force sur le vilebrequin que durant une partie d'un cycle de combustion. Bien qu'il y ait plusieurs pistons dans un moteur, le moment de force appliqué par les piston sur le vilebrequin varie selon le moment de l'explosion dans la chambre de combustion. Puisque le volant a un grand moment d'inertie, il est difficile de faire varier son mouvement subitement et donc il amorti l'effet des explosions spontanées.

Vilebrequin et volant

Volant ("flywheel")

MAN 8S35ME-B - Diesel 2 temps
Volant d'inertie prêt à être relié à l'arbre de transmission

Il accumule de l'énergie cinétique :

où I : moment d'inertie
: vitesse angulaire

Il fournit une partie de cette énergie cinétique au système de transmission et se rend aux roues.

Volant ("flywheel") bien visible (disque vert) sur un tracteur

KERS

Le système KERS (Kinetic Energy Recovery System) est un système installé sur les voitures afin de récupérer l'énergie cinétique de la voiture lors du freinage. Durant le freinage, un embrayage permet de relier les roues de la voiture à une roue d'inertie. Celle-ci accumule donc de l'énergie cinétique (ce qui aide au freinage) qui sera disponible lors des accélérations.




Vidéo système de roue d'inertie
https://www.youtube.com/watch?v=ZHgN1-Qv9LU