Poussée d'Archimède et traînée

Question : jusqu'à quelle vitesse est-ce possible de se faire tirer par une Ferrari alors qu'on est assis dans une chaise flottante suspendue à des ballons gonflés à l'hélium?

Tiré de : http://what-if.xkcd.com/112/

Deux concepts permettent de répondre à cette question.

1. La poussée d'Archimède ("buoyancy force")

La poussée d'Archimède est égale au poids du volume de fluide (liquide ou gaz) déplacé par un objet. Pour obetnir une poussée qui nous permet de s'envoler, il faut que celle-ci soit plus grande que le poids de l'objet. 

Supposons un énorme ballon gonflé à l'hélium avec une personne de masse 80 kg. Afin de s'envoler, il faut donc une poussée d'Archimède supérieure (ou égale) à 80 kg plus le poids du ballon gonflé. On peut soustraire la densité de l'hélium à celle de l'air afin d'avoir la poussée résultante exercée sur le ballon.

Volume du ballon :

Poussée d'Archimède

Où rho est la masse volumique.

Masse volumique de l'air : 1,225 kg/m^3

Masse volumique de l'hélium : 0,1786 kg/m^3

Donc, la poussée d'Archimède (en Newtons) en fonction du rayon du ballon (en mètres)

Pour une personne de 80 kg, il faut donc une poussée de 784,8 N (=80*g) un rayon de ballon de 2,6 m. Il faut ajouter à cela la masse de la chaise...

La ballon va donc flotter, mais la force résultante qui sera appliquée sur le ballon inclus la poussé d'Archimède et la traînée ("drag") causée par le mouvement de l'air autour du ballon.

2. Traînée ("drag") causée par le frottement de l'air

Un corps en mouvement dans un fluide (liquide ou gaz) va subir une force qui résulte du mouvement relatif du fluide (ou plus précisément du changement de la quantité de mouvement du fluide). On décompose cette force résultante en deux composantes : une composante parallèle au mouvement du corps, la traînée ("drag") et une composante perpendiculaire au mouvement, la portance ("lift"). La portance sera présente lorsque le corps n'a pas une géométrie symétrique par rapport à un axe parallèle au mouvement. Par exemple, une aile d'avion peut être symétrique mais avoir un angle d'attaque (ou d'incidence) (angle non nul entre son axe de symétrie et l'axe du mouvement de l'aile) et donc ne pas être symétrique par rapport au mouvement de l'aile.

Aile avec un angle d'incidence
L : portance ("Lift")
D : traînée ("Drag")
R : résultante

NOTE : une aile symétrique peut générer une portance (il faut un angle d'attaque positif)
Dans la figure suivante, une aile non symétrique dans une situation normale et dans une situation où l'aile est inversée (acrobatie aérienne). Un avion aura une portance même s'il est à l'envers.

Dans notre cas, l'axe de symétrie du ballon d'hélium est toujours parallèle au mouvement, peu importe la direction de son mouvement. Pour une sphère, on peut obtenir la force de traînée à partir du graphique suivant :

Où : 

D : drag (force de traînée)

Cd : coefficient de traînée = voir plus bas

rho : densité du fluide = 1,225 kg/m^3

v : vitesse du fluide par rapport à l'objet

A : aire projetée = pi*R^2

Le coefficient de trainée varie selon la géométrie de l'objet et aussi du type d'écoulement.

Coefficient de traînée d'une sphère (lisse ou rugueuse) en fonction du nombre de Reynold

2 - Écoulement attaché

3 - Écoulement laminaire

4 - Écoulement laminaire en amont, turbulent en aval

5 - Écoulement turbulent

Si on prend un écoulement laminaire-turbulent causé par une sphère lisse, le coefficient de traînée est :

Si la voiture roule à 30 km/h :

rho = 1,225 kg/m^3

v = 30 km/h = 8,33 m/s

A = pi*r^2 = 21,24 m^2

D = 424 N

Calculons l'orientation du vecteur résultant.
theta = acrtan (Fy/Fx) = arctan (784,8/424) = 61,6°

Plus la vitesse de la Ferrari sera grande, plus la trainée sera grande, moins l'angle d'élévation sera grand et donc la chaise flottera plus bas.

Par exemple, si la voiture roule à 200 km/h :
D = 18 872 N
theta = 2,38°
Selon la longueur du câble, on commence à frôler la route.

On peut alors augmenter la grosseur du ballon afin de flotter plus haut. Prenons un ballon de 15 m de diamètre (7,5 m de rayon). On obtient pour une vitesse de 200 km/h :
Poussée d'Archimède = 18 140 N
D = 157 011 N
theta = 6,6°

Cependant, la masse d'une Ferrari 458 avec une personne de 80 kg est de 1569 kg, donc 15 391 N. Puisque la poussée d'Archimède est supérieure au poids de la voiture, tout s'envole est il n'y a plus de frottement entre les roues motrices et le sol pour nous faire avancer...

S'élever avec des ballons gonflés à l'hélium par Mythbusters
https://www.youtube.com/watch?v=NC-Km7aUjgc